Монеты России и СССР

Совершенно непонятно, зачем вообще выражать икс? Или игрек? И получать грязь в виде лишних корней? Можно ведь, пользуясь Вашим же методом про четность и нечетность, просто перебрать варианты.

Для положительных х, у.
Пусть х, у - четные. Тогда х-у=3^у - левая часть четная, правая нечетная.
(х-у) - четное, т.к. х-у=2a-2b=2(a-b)=2c, где a, b, c - целые. 3^у - нечетное - доказательство у Вас.
Итак, х-у=3^у - левая часть четная, правая нечетная. Противоречие. Значит, (х, у - четные) - допущение неверное.

Пусть х - четное, у - нечетное. Тогда х+у=2^х - левая часть нечетная, правая четная.
(х+у) - нечетное, т.к. х+у=2a+2b+1=2(a+b)+1=2c+1, где a, b, c - целые. 2^х - четное - доказательство у Вас.
Итак, х+у=2^х - левая часть нечетная, правая четная. Противоречие. Значит, (х - четное, у - нечетное) - допущение неверное.

Пусть х - нечетное, у - четное. Тогда х+у=2^х - левая часть нечетная, правая четная.
(х+у) - нечетное, т.к. х+у=2a+1+2b=2(a+b)+1=2c+1, где a, b, c - целые. 2^х - четное - доказательство у Вас.
Итак, х+у=2^х - левая часть нечетная, правая четная. Противоречие. Значит, (х - нечетное, у - четное) - допущение неверное.

Пусть х, у - нечетные. Тогда х-у=3^у - левая часть четная, правая нечетная.
(х-у) - четное, т.к. х-у=2a+1-(2b+1)=2a-2b+1-1=2(a-b)=2c, где a, b, c - целые. 3^у - нечетное - доказательство у Вас.
Итак, х-у=3^у - левая часть четная, правая нечетная. Противоречие. Значит, (х, у - четные) - допущение неверное.

Поскольку х и у не могут быть ни четными, ни нечетными, задача не имеет решений в положительных х, у. И никаких лишних корней.



Зачем вводить какие-то исключения? Вы же рассматриваете положительные х и у, почему же в рамках этого Вы начинаете рассматривать х=0 и у=0. Не лучше ли, как например здесь предлагал Tory:
1, 2) Пусть х - положительное, пусть у - положительное;
3, 4) Пусть х=0, пусть у=0;
5, 6) Пусть х - отрицательное, пусть у - отрицательное.



Пусть х=0. Тогда (х+у=2^х) -> (0+у=1) -> (у=1) подставляем (х-у=3^у) -> (0-1=3) -> (-1=3) Противоречие. Значит, (х=0) - допущение неверное.
Пусть у=0. Тогда (х-у=3^у) -> (х-0=1) -> (х=1) подставляем (х+у=2^х) -> (1+0=2) -> (1=2) Противоречие. Значит, (у=0) - допущение неверное.
Задача не имеет решений при нулевых х, у.




Пусть х<0. Тогда х+у=2^х - левая часть целая, а правая дробная по определению отрицательных степеней:
a^-|b|=1/(a^|b|), следовательно 2^-|х|=1/(2^|x|) - дробное. Целое равно дробному - противоречие. Значит, (х<0) - допущение неверное.
Пусть y<0. Тогда х-у=3^y - левая часть целая, а правая дробная по определению отрицательных степеней:
a^-|b|=1/(a^|b|), следовательно 3^-|y|=1/(2^|y|) - дробное. Целое равно дробному - противоречие. Значит, (y<0) - допущение неверное.
Задача не имеет решений при отрицательных х, у.

Если задача не имеет решений при целых положительных х и у, и при целых нулевых х и у, и при целых отрицательных х и у, то задача не имеет решений в целых числах.

genek87, я поздравляю Вас с выигрышем приза! Вы настоящий меткий артиллерист! Фашистским танкам от Вас пришлось бы не сладко!

Всех принявших участие благодарю за внимание у моему посту и поздравляю с наступающим Великим Праздником Победы!!!

Отдельная благодарность и мое восхищение:
Игорьку, первому давшему правильный ответ и начавшему сравнивать левые и правые части уравнений!
Mishka, первому подошедшему к идее проверить выражение на кратность двум!
Sheyh, первому заметившему, что при отрицательных х и у нарушается условие целых чисел!
Tory, первому разложившему задачу на четкие три этапа: больше 0, сам 0 и меньше 0!
Nurmizmat'у за искреннее рвение и основательность подхода!
Я в восхищении! Вы были на правильном пути, и я не сомневаюсь, что любой из Вас пятерых рано или поздно решил бы эту задачу, но - победил тот, кто первым объединил все ветки решения воедино и первым грамотно их обосновал. Удачи Вам и новых битв и побед!

Еще раз всех с праздником! Если кого ненароком обидел, прошу прощения, пожалуйста не обижайтесь на меня в такой великий праздник (вернее при его приближении). Победителя жду в личке с почтовым адресом.

Вас тоже с праздником!

Поздравляю победителя!
Спасибо автору за интересную игру!

Достойная задачка , но образованиЕВ явно не хватает

это точно !

автору спасибо за интересный конкурс !