Монеты России и СССР

Михаил.. продолжу вашу мысль от Вашего имени (ибо я на приз не претендую)

Если имеем 2 одинаковые стороны.. и угол между ними 60 градусов - это автоматически делает треугольник равносторонним.. Соответственно расстояние между деревушками - сторона треугольника.. 20 км умножаем на 1 ч 45 минут получаем расстояние.. уффф... думала лопну - так меня распирало 35км - урррра

Забыла.. сказать как я это узнала.. Нашла на карте Алексеевск, Бобруйск (или как его там) и Целинное.. ну и линейкой в яндексе промеряла - она написала что 35км там

Шар двигался прямолинейно, следовательно, все траектории между населенными пунктами и населенные пункты находятся в одной плоскости. Соответсвенно будем решать плоскую задачу.
Между Алексеевском и Борисово пройдено расстояние 20км/ч*1,75ч=35км, столько же между Борисово и Целинным (скорость и время одинаковые).
Можно нарисовать треугольник, где сторонами будут отрезки между всеми населенными пунктами. Причем угол при вершине треугольника в Борисово будет 60град.
Т.к. у этого треугольника две стороны равны, то он является равнобедренным. Причем угол между его боковыми сторонами составляет 60 град. Одно из свойств такого треугольника - углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, равны между собой. Сумма всех углов в любом треугольнике 180град, отсюда получаем что все углы в данном треугольнике равны 60град.
А это уже условие существования равностороннего треугольника.
А т.к. треугольник равносторонний, то и расстояние между Алексеевском и Целинным тоже 35 км.

В задании 'шар прибыл в Целинное' - я допустил, что на расстояниях 35км эллиптичность или шарообразность Земли не учитывается.

две одинаковые стороны, угол между ними 60 град., соответственно треугольник равнобедренный (равносторонний). Из этого следует, что расстояние между деревнями- 20 км/ч х 1 час 45 мин= 35 км.
примерно так

Вполне развернутый ответ..

Тоже вполне развернутый ответ

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Доказательство

Пусть Δ ABC – равнобедренный с основанием AB . Рассмотрим Δ BAC . По первому признаку эти треугольники равны. Действительно, AC = BC ; BC = AC ; C = C . Отсюда следует A = B как соответствующие углы равных треугольников. Теорема доказана.

у нас треугольник равнобедренный, сумма углов треугольника 180°, угол в вершине 60, т.о. (180-60)/2=60 все углы равны, это равносторонний треугольник, со стороной 35 км

Сторона треугольника не может быть выражена временем. Или скоростью. Да, кстати, о каком треугольнике идет речь?

“две одинаковые стороны” – не доказано
“две одинаковые стороны, угол между ними 60 град., соответственно треугольник равнобедренный” – треугольник равнобедренный, потому что у него две одинаковых стороны, или потому что угол между ними 60 градусов?
“треугольник равнобедренный (равносторонний)” – это разве одно и то же? И да, о каком треугольнике опять идет речь?

А Вы можете, не претендуя на приз, играть от своего имени.

“Если” – это предположение (допущение). К нему нужно доказательство.

Угол ни при чем.

Не автоматически, а по определению равностороннего треугольника.

Какая сторона? Бедро или основание?

Мне нравится ход Ваших мыслей! Но уж “дотр@#иваться до мышей” тоже не надо... Достаточно сказать, что одно из СВОЙСТВ равнобедренного треугольника – “В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.”

Почему?

Почему?
* * *
Итак, вышеперечисленные участники снова получают по дополнительной попытке. При ее использовании не забываем о пункте №3 Регламента этого конкурса.
Также напоминаю SPEAKER’у, что у него еще не использована дополнительная попытка, предоставленная ранее.
Также напоминаю medvedev’у, что его предыдущие высказывания не содержали попытки решить задание, поэтому он, если желает, может принять участие в конкурсе.
Остальное пока no comments.
Кто еще ни разу не отписался в конкурсе – поторопитесь. Такими темпами 1-й этап может закончиться уже сегодня.

Чувствую себя школьником. Короче я получил жирную2 и родителей в школу.

по условиям задачи мы получаем треугольник со сторонами "a" (Между Алексеевском и Борисово), "b" (Борисово и Целинным) с углом менду ними "α" (60°) и "с" (между Алексеевском и Целинным). Поскольку Между Алексеевском и Борисово и между Борисово и Целинным шар двигался с одинаковой скоростью и одинаковое время a=b. По определению это равнобедренный треугольник с углом в вершине "α". "одно из СВОЙСТВ равнобедренного треугольника – “В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.” У нас треугольник равнобедренный, сумма углов треугольника 180°(свойство треугольника), угол в вершине 60, т.о. (180-60)/2=60 все углы равны 60°.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Правильный (или равносторонний) треугольник — это правильный многоугольник с тремя сторонами, первый из правильных многоугольников. Все стороны правильного треугольника равны между собой, а все углы равны 60° Таким образом у нас c=a=b. Рассчитаем a (Между Алексеевском и Борисово) расстояние равно произведению времени на скорость. a=20*1.75=35. с=a=35 км
Ответ: между Алексеевском и Целинным 35 км.

вот вспоминаю школу, из-за этой необходимости все подробно расписывать частенько снижали оценки((( домашку поэтому не делал напрочь

Зная время и скорость, найдем расстояние от А до Б =105мин*20км/ч=35 км.
Зная время и скорость, найдем расстояние от Б до Ц=105мин*20к/ч=35км.
Отсюда следует, что АБ=БЦ.Построим треугольник.Т.к. АБ=БЦ, а угол между ними = 60град, то все углы=60град.Значит тр.АБЦ-равносторонний.Отсюда следует, АБ=БЦ=АЦ=35 км.
Ну как-то так

Алексеевск (А) Борисово (В) Целинное (С)
1) 1 час 45 мин= 1 3\4 (одна целая три четвертых) часа
2) 1 3\4 * 20= 35 км от Алексеевска до борисово ( прямая АВ )
3) 1 3\4 * 20= 35 км от борисово до целинного ( прямая ВС )
4)получаем АВ=ВС значит углы ВАС и ВСА равны, тогда треугольник АВС равнобедренный, СА-основание равнобедренного треугольника
5)Угол СВА=60 град по условию, значит Уг ВАС+ВСА=180-60=120, но мы знаем, что ВАС и ВСА равны из этого следует, что ВАС=ВСА=60 градусам
6) углы СВА=ВАС=ВСА=60, значит треугольник АВС равносторонний, а стороны равностороннего треугольника равны АВ=ВА=ВС
7) АВ=ВС=35 км, значит АВ=ВА=ВС=35 км
Ответ: АС (расстояние между Алексеевском и Целинным) = 35 км
Фуууф, не зря наша учительница гоняла нас по геометрии все теоремы с 7 класса помню

Ну и картинка

Не поленился подсчитал: если бы шар повернул на 60 гр, то расстоя ние было бы 78,262378 км. А так всё правильно.

66км.

Mozg2277, virtuoz, Mr.freeman, копарь и участник-не-претендующий-на-приз Natashkin - приглашаю Вас во 2-й тур.
В порядке поощрения BercutAll также приглашаю во 2-й тур.
Остальные дали либо неправильные ответы, либо неправильные решения, либо и то, и другое.

ВНИМАНИЕ ! После 00 часов я подведу итоги 1-го тура немного подробнее ("разбор полетов").
ДО ЭТОГО ВТОРОЙ ТУР НЕ СТАРТУЕТ !

не спим, пора второй тур стартовать

Ну, мне кажется, что к концу тура более-менее прояснилось, что означают мои "придирки". Требуется максимально точное, последовательное и обоснованное решение. Иначе как я смогу выявить победителя? Задача-то простая, ответ находится быстро. Поэтому решающее значение имеет не ответ, а ход решения.
Тем не менее, приведу решение, которое я бы принял с первого раза без дополнительных вопросов. Для того, чтобы в последующих турах было меньше непоняток и больше продуктивного соперничества.


[В квадратных скобках курсивом приведены комментарии о ходе решения, для самого решения они не нужны.]

[Вводим обозначения.]
Обозначим Алексеевск как А, Борисово как В и Целинное как С.
[Вычисляем расстояния. Пока о треугольнике речь не идет.]
Рассмотрим отрезок АВ. 1,75ч х 20км/ч = 35км.
Рассмотрим отрезок ВС. 1,75ч х 20км/ч = 35км.
[Вводим в решение треугольник.]
Таким образом, образуется треугольник АВС, две стороны которого известны (АВ и ВС), а третью (АС) требуется найти по условию задачи.
[Далее доказываем, что треугольник равнобедренный.]
Поскольку АВ=35км и ВС=35км, то АВ=ВС.
По определению, равнобедренным называется треугольник, две стороны которого равны. Поскольку АВ=ВС, треугольник АВС является равнобедренным, где АВ и ВС - бедра, а АС - основание.
[Далее находим неизвестные углы.]
Исходя из свойств равнобедренных треугольников, углы треугольника при его основании равны. Следовательно, угол ВАС равен углу ВСА. Обозначим каждый из этих углов через Х. Третий угол, АВС, известен по условию задачи, он равен 60 градусов. Согласно теореме о сумме углов треугольника, сумма углов любого треугольника равна 180 градусов. Составим уравнение. Х+Х+60=180 -> 2Х=120 -> Х=60. Поскольку угол ВАС =60гр, угол ВСА =60гр, и угол АВС =60гр, то ВАС=ВСА=АВС, то есть все углы треугольника АВС равны между собой.
[Далее доказываем, что треугольник равносторонний.]
По определению, равносторонним называется треугольник, все стороны которого равны между собой, и все углы которого равны между собой. Поскольку у треугольника АВС все углы равны между собой, то треугольник АВС является равносторонним (правильным) треугольником.
[Далее находим неизвестную сторону.]
Как уже было сказано, стороны равностороннего треугольника равны между собой. Поскольку АВ=ВС=35км, то АС=АВ=ВС=35км.
Ответ: расстояние между Алексеевском и Целинным 35 километров.

* * *

ОБЪЯВЛЯЮ ВТОРОЙ ЭТАП
Теперь решаем ту же задачу, но другим способом.

надеюсь сейчас снова нет необходимости считать откуда взялось 35...
а в остальном это решение попроще для полного развернутого ответа
по условиям задачи мы получаем треугольник со сторонами a (Между Алексеевском и Борисово), b (Борисово и Целинным) с углом менжду ними α (60°) и с (между Алексеевском и Целинным) по теореме косинусов , c^2= (a^2+ b^2- 2bc *cosα) т.о. с=квадратный корень из(35^2+35^2-2*35*35*cos60°)=квадратный корень из(1225+1225-2450*1/2)=квадратный корень из(1225)=35

Обозначим Алексеевск как А, Борисово как В и Целинное как С.
Рассмотрим отрезок АВ. 1,75ч х 20км/ч = 35км.
Рассмотрим отрезок ВС. 1,75ч х 20км/ч = 35км.
Таким образом, образуется треугольник АВС, две стороны которого известны (АВ и ВС), а третью (АС) требуется найти по условию задачи.
Поскольку АВ=35км и ВС=35км, то АВ=ВС.
Угол АВС известен по условию задачи, он равен 60 градусов.
Согласно теореме косинусов: для плоского треугольника со сторонами АВ,ВС,АС и углом АВС, противолежащим стороне АС, справедливо соотношение
АС^2=АВ^2+ВС^2-2*АВ*ВС*cos(АВС)
Отсюда есть два решения
АС=кв.корень(АВ^2+ВС^2-2*АВ*ВС*cos(АВС))
и
АС=-кв.корень(АВ^2+ВС^2-2*АВ*ВС*cos(АВС))
Второе решения сразу откидываем, т.к. сторона треугольника не может быть отрицательной.
А для первого варианта решения есть все значения
АС=кв.корень(35^2+35^2-2*35*35*cos(60))=35*кв.корень(1+1-2*0,5)=35
Ответ: расстояние между Алексеевском и Целинным 35 километров.

можно воспользоваться теоремой синусов. Она гласит, что стороны треугольника прямо пропорциональны значению синусов противолежащих углов: a / sin α = c / sin β. Откуда получаем, что c = a * sin β / sin α.
c = 35 * sin β / sin α = 35

Прокатит?
Поверял, все в норме

Второй способ найти основание треугольника – при помощи теоремы косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон и косинуса угла, заключенного между ними. Получаем, что квадрат основания c^2 = a^2 + b^2 – 2 * a * b * cos β. Далее находим длину основании c, извлекая квадратный корень из данного выражения.
c^2 = 35^2 + 35^2 – 2 * 35 * 35 * cos 60= 1225+1225-1225=1225, следовательно c^2 =1225, c=√1225=35
пойдет или опять расписывать надо?